Continuous, Discrete Wavelet Transform (CWT, DWT)

이 글은 이 글을 번역+재구성한 글입니다. 모든 이미지나 내용 출처는 위 페이지임을 미리 밝힙니다.

지난 포스팅에서 간단히 Wavelet이 어떤 건지에 대해 설명했습니다. 이번 포스팅에서는 Continuous Wavelet Transform(CWT)와, Discrete Wavelet Transform(DWT)에 대해 알아보겠습니다.

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CWT와 DWT, 뭐가 다른가요?

영어에서도 보듯, Continuous는 연속적이라는 뜻이고, Discrete은 이산적이라는 뜻입니다. 앞선 포스팅에서 scale와 shifting에 의해 wavelet이 동작한다고 말씀드렸는데요.

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CWT는 scale과 shifting이 continuous, 즉 연속변수로 작동합니다. 따라서 아래 수식으로 나타낼 수 있습니다. a는 scale factor, b는 shift factor입니다. 연속적이기 때문에 무한한 wavelet들을 scaling하고 shifting할 수 있습니다.

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이에 비해 DWS는 a, b가 이산적인 값입니다. a는 2의 배수로 움직이며, b는 증가하는 정수 값으로 표현합니다.
일반적으로 CWT는 스펙트로그램을 얻는데 사용하고, DWT는 신호의 노이즈 처리에 사용합니다.

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DWT에 대해서

DWT는 filter-bank로서 적용된다고 할 수 있습니다. 즉, DWT는 흔히 말하는 high pass filter, low pass filter 로서 작용합니다.
DWT를 적용할 때는 smallest scale, 즉 가장 작은 스케일부터 시작합니다. 즉 고주파를 탐색할 수 있게 됩니다. 그러면서 스케일을 늘려가면서 저주파까지 탐색하게 되는 구조입니다.

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파이썬의 wavelet 라이브러리를 활용하면, 위의 approximation과 detail coefficient 값을 구할 수 있습니다. 즉, high pass와 low pass filter로 활용할 수 있습니다.

• PyWavelets의 DWT 라이브러리를 활용합니다. (pywt.dwt())
• DWT는 두개를 return합니다. Approximation과 Detail Coefficient입니다.
• Approximation: low pass filter
• Detail: high pass filter
• DWT로 나오는 approximation의 결과값을 다시 DWT하면, 또 approximation과 detail을 각각 얻습니다.
• 이런 방식을 통해 신호 노이즈 처리에도 사용할 수 있습니다.

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CWT는 머신러닝에 활용

앞서 CWT는 스펙트로그램을 생성할 수 있다고 말씀드렸습니다. 즉, 어떤 시그널에 대한 시간 정보와 주파수 정보를 모두 갖고 있고, 이를 이미지처럼 2차원 vector array로 표현할 수 있습니다. 이를 이용하면 퓨리에 변환이나 MFCC 등의 방법과 유사하게 머신러닝에 활용할 수 있습니다. 상세는 원본 글을 참조하실 수 있으며, 대략적인 이미지는 아래와 같습니다.

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위와 같이 소리마다 특징을 이미지화할 수 있기 때문에, 머신러닝으로 활용이 가능합니다.대표적으로 CNN을 이용해 컨볼루션을 돌릴 수 있습니다.

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이처럼 CWT는 보통 스펙트로그램을 생성하는 데 의미가 있으며, 결과물은 머신러닝으로 활용이 가능합니다. DWT는 위에서 설명드렸듯이 주파수 필터로서 역할할 수 있습니다.

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DWT를 이용한 Deconstructing

시그널을 말그대로 deconstructing하는 데는 DWT를 활용합니다. 신호의 노이즈처리가 대표적인 예가 되겠습니다.

• pywt.dwt(): 시그널의 approximation coefficient를 구할 수 있습니다. 그 coefficient에 또 dwt를 적용하면 할수록 low pass filter로서 활용할 수 있습니다.
• pywt.wavedex(): 위 과정을 함수화해놓은 메소드입니다.

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아래 코드를 활용하면 고주파를 날림으로써 low pass filter를 구현할 수 있습니다.

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DATA_FOLDER = './FEMTO_bearing/Training_set/Bearing1_1/'
filename = 'acc_01210.csv'
df = pd.read_csv(DATA_FOLDER + filename, header=None)
signal = df[4].values
 
def lowpassfilter(signal, thresh = 0.63, wavelet="db4"):
    thresh = thresh*np.nanmax(signal)
    coeff = pywt.wavedec(signal, wavelet, mode="per" )
    coeff[1:] = (pywt.threshold(i, value=thresh, mode="soft" ) for i in coeff[1:])
    reconstructed_signal = pywt.waverec(coeff, wavelet, mode="per" )
    return reconstructed_signal
 
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(signal, color="b", alpha=0.5, label='original signal')
rec = lowpassfilter(signal, 0.4)
ax.plot(rec, 'k', label='DWT smoothing}', linewidth=2)
ax.legend()
ax.set_title('Removing High Frequency Noise with DWT', fontsize=18)
ax.set_ylabel('Signal Amplitude', fontsize=16)
ax.set_xlabel('Sample No', fontsize=16)
plt.show()

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이 때 파라미터로 wavelet function이나 thresh의 값, mode 등이 있는데 이에 대한 상세 포스팅은 다음에 다시 올리겠습니다.
위 함수를 사용하면 아래와 같이 노이즈르 필터링할 수 있습니다.

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보시는 바와 같이 노이즈가 큰 신호의 큰 흐름들만 잡아낼 수 있습니다. wavelet의 종류에 따라 노이즈를 더 잡아낼수도 있고, 덜 잡아낼수도 있어서 상황에 맞는 적절한 파라미터 선정이 필요합니다.

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다음 포스팅에서는 Wavelet function의 종류에 따른 노이즈 처리 정도에 대해 포스팅해보겠습니다.